本日、劇場版 魔法少女まどかマギカ[新編]叛逆の物語のBlu-ray Discが届いたので、映画を見ていた時にとてもとても気になっていた数学の問題について紹介したいと思います。再生時間で言うと29分頃だったと思います。再現ホワイトボードもつくろうかと思いましたが、今日作ることは諦めました。文字及び数字は全て私の推測ですのでご了承下さい。結構長いので先に感想言います。

感想:積分の問題は大学レベルで最初は難しいと思ったが、高校までの知識でなんとかなるものもあり良かった。また、文字式、二次関数から三角関数、積分と幅広い範囲をカバーしていることが分かった。(数学ⅠからⅢまで??)なお、鹿目まどかの持っていた数学の教科書は、東京書籍"風"の数学Ⅱであることが分かった。(絵柄は一致していないがレイアウトはよく似ている)

では、問題一覧です。

謎の式の羅列X1(ホワイトボード左上)

\[\frac{****}{*}=\frac{****}{*}=\frac{****}{*^*}\\
**\cdot\frac{****}{*}=**\cdot\frac{****}{*}=**\cdot\frac{****}{*}\\

*\cdot(****)=*\cdot(****)=****
\]

二次方程式の解の公式(ホワイトボード左下)
\[ax^2+bx+c=0\\
a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=0\\
x^2+2\cdot\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0\\
(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0\\
(x-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})=0\\
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\]

謎の式の羅列X2(ホワイトボードやや左上)
\[\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2=\alpha\beta\frac{*}{**}\\
y=\frac{*}{*}**^*
\end{array} \right.\]


ひし形の面積と辺の関係など(ホワイトボードやや左真ん中)
7

\[S=ah=\frac{d_{1}{\cdot}d_{2}}{2}=a^2\cdot\sin\alpha\\
d_{1}^2+d_{2}^2=4a^2
\]実際はsinのsが大文字に見える。

3つのグラフ(ホワイトボードやや左下)


謎の積分の式の羅列X3(ホワイトボードやや右上)
\[\int^*_* *^* dx=(*-*)*^*\\
\int *^**^* dx=*^**^*-*\int *^{*-1}*^*dx \\
\int * * dx=*^** * *+C\\
\int *^***dx =\frac{*^{***}}{***}***-\frac{*^***}{(***)}*+C
\]

積分の問題(ホワイトボードやや右下)
\[a)\int\frac{\arcsin^3 x}{\sqrt{1-x^2}} dx\]
\[b)\int x\ln(x^2+y) dx\]
\[c)\int\frac{x^3+2x^2+10x}{x^2-x+1} dx\]


解答はこちらです。(Cは積分定数とする。)解説については、こちらから。
まず、\[a)\int\frac{\arcsin^3 x}{\sqrt{1-x^2}} dx=\frac{1}{4}\arcsin^4 x+C\]
\[b)\int x\ln(x^2+y) dx =\frac{1}{2}((x^2+y)\ln(x^2+y)-x^2)+C\]
\[c)\int\frac{x^3+2x^2+10x}{x^2-x+1} dx =\frac{1}{2}x^2+3x+6 \ln(x^2-x+1)+2\sqrt{3} \arctan{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}+C\]


直方体の表面積と体積の公式(ホワイトボード右上)
3

\[S=2(ab+ac+bc) もしくは S=2(ab+ca+bc)\]
\[V=abc\]

直角三角形に垂線を下ろした時の辺の関係と三角関数(ホワイトボード右下)
4

\[a^2+b^2=c^2  h^2=c\alpha\cdot c\beta\\
a^2=c\alpha(※)   b^2=c\beta\cdot c\\
\sin\alpha=\frac{a}{c} \cos\alpha=\frac{b}{c}\\
\tan\alpha=\frac{a}{b}
\]ここの式に出てくる全ての$\alpha,\beta$が、$a,b$に見える。
※おそらく、$\times c$が抜けている。さらに、$\alpha$が、角度と辺の違う意味で2回使われているので本当は正しくない。


積分の問題の解説
a)置換積分を使って求めることにする。 \[\begin{eqnarray}
u&=&\arcsin xとおくと,\\
\frac{du}{dx}&=&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}より,\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=du\\
よって,\int\frac{\arcsin^3 x}{\sqrt{1-x^2}} dx&=&\int\arcsin^3 x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx\\
&=&\int u^3du=\frac{1}{4}u4+C\\
&=&\frac{1}{4}\arcsin^4 x+C
\end{eqnarray}\]



b)部分積分を使って求めることにする。
 
\[\begin{eqnarray}
\int x\ln(x^2+y) dx &=&\int \ln(x^2+y)\cdot (\frac{1}{2}x^2)' dx \\
&=&\ln(x^2+y)\cdot \frac{1}{2}x^2-\int (\ln(x^2+y))'\cdot \frac{1}{2}x^2 dx ←部分積分partial integration
\\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y) -\int \frac{2x}{x^2+y}\cdot \frac{1}{2}x^2 dx \\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y) -\int \frac{x^3}{x^2+y} dx \\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y) -\int x-\frac{yx}{x^2+y} dx \\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y) -\int x-\frac{\frac{1}{2}y(x^2+y)\prime}{x^2+y} dx \\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y) -(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y\ln(x^2+y))+C \\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y)+\frac{1}{2}y\ln(x^2+y) -\frac{1}{2}x^2+C \\
&=&\frac{1}{2}((x^2+y)\ln(x^2+y)-x^2)+C
\end{eqnarray}\]

c)いろいろな方法を駆使する。
\[\begin{eqnarray}
\int\frac{x^3+2x^2+10x}{x^2-x+1} dx &=&\int(x+3+\frac{12x-3}{x^2-x+1}) dx \\
&=&\int(x+3+\frac{6(2x-1)}{x^2-x+1}+\frac{3}{x^2-x+1}) dx \\
&=&\int(x+3+\frac{6(2x-1)}{x^2-x+1}+\frac{3}{x^2-x+1}) dx \\
&=&\frac{1}{2}x^2+3x+\int\frac{6(x^2-x+1)\prime}{x^2-x+1}+\frac{3}{x^2-x+1}) dx\\
&=&\frac{1}{2}x^2+3x+6 \ln(x^2-x+1)+\int\frac{3}{x^2-x+1}) dx\\

&=&\frac{1}{2}x^2+3x+6 \ln(x^2-x+1)+2\sqrt{3} \arctan{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}+C
\end{eqnarray}\]
cの一番最後の式は、微分すればそうなるとわかるが、逆がちょっと…。
なお、英語版まどかWikiと啓林館『Focus Gold数学Ⅲ+C  解答編 新課程用』を参考に解説を作成しました。