はくちょう座のブログ

このブログは、数学とアニメとlinuxに傾いています。

東大受験を振り返って -前編-

 受験という今までの人生の中ではむちゃくちゃ長いほどイベントが終わりましたのでその報告をさせて頂きます。文章が想像以上に長くなってしまったので2回に分けます。今回はセンター試験までです。


高2
 科学の甲子園とかいろんな大会に出ていました。受験は本当に意識していませんでした。とはいえ、ツイッター上で数学コンクールの存在を知り、それの解答を送り続けていたら塾側から特待認定されたので少し講座を取りました。でも難易度が高く当時の自分は理解できませんでした。

高3

文化祭まで
 先輩が難なく合格しました。(という風に見えました)そのせいもあってかいよいよ受験生とか呟やいておきながらまだやるべきことが残っていたのでそれをやるという感じでした。物理部誌製作のために本来高3がやるべき行事をすっぽかしてかなり頑張ってました。結果本の値段を半額にして、本を全て売り、黒字にすることに成功しました。成績がやばいことに薄々気づきます。

6月
 この頃からようやく受験について意識しはじめます。同級生のA氏から自習室利用のできる塾の存在を知ります。校内模試が終わったその日に塾の方に行ったはずです。その時点での成績は悪かったですが、高2の頃に出していた数学コンクールの成績を出すとかなり優遇してもらうことに成功しました。塾主催の数学の公開授業の成績が良かったので赤本を大量にもらったのは良かったです。

夏休み
 科学の甲子園校内予選問題作成という作業をしました。なぜか数学、情報、化学の3科目も担当することになりました。化学は基本もあやふやだったので教科書の章末問題を使いました。そして他校との合同演習会にもなぜか出ていました。8月には数学甲子園本選に出場しました。準々決勝でやらかして順位発表する時に受験の時よりもこの発表は怖いと感じました。なぜならこの大会は今年しか受けられないからです。でもなんとか通過して、その時はものすごい喜びでした。決勝まで行けて本当によかったです。受験勉強自体は進んでいるようで進みませんでした。

秋〜冬
 アルバム委員会という活動がありリーダを務めていたのですが、委員の集まる機会が中々なくて大変でした。これを処理する関係上パソコンを封印できなかったのがのちのち響きます。そしてなぜかソーシャルゲームを始めていました。ひたすら体力が減るまで探索するという作業を繰り返してました。(1分で1回復するので結構遊べる)秋辺りに東京にある塾の方に行ったのですが、そこで本部の方に英語は70取らないと厳しいぞこのままだと相当頑張らないといけないぞーって言われてこのやろーって感じでした。でもその頃は英語が偏差値40いってないんで相当ひどかったはずです。

 秋に模試を受けたのですが、2日目で痛恨の遅刻をしました。こんなことやってたら落ちるぞって思いました。結果は謎のB判定(今までの中で最高の判定)でまじかと思いました。そしてついに英語平均点到達を達成しました。一応部活は追い出されなかったので2学期末までいました。意識高い後輩と受験の話をしてうわ、英語の点数負けてるとかで盛り上がったり、数学の過去問を解いたりまたある時は海外のノベルゲームを翻訳したりしていました。冬休みは割りと学校の自習室で取り組んでいました。なんか記録によるとセンター前日にゲームしていたようですが。

センター試験
 最初の科目の試験で失態を冒し、最悪試験が受けられない状態まで追い込まれました。試験官のいうことはよく聞きましょう。国語の解答が終わった後、後ろで漢字の答え合わせをしている人がいてやめておくれという感じでした。数学IIBが全然解けなくて焦りました。微分の最後らへんの部分はなんか当てかんで埋めたら当たってました。あの恐ろしさは二度と味わいたくはないと思いました。自己採点したら、国語わりとなんとかなったなと思っていたら、みんな8割以上とって唖然でした。みんなの合計点をTLで見て自分より低い人が中々いないので確かこれ普通に落ちるなと呟いてたはずです。

今日はここまでです。

数学の問題

第1回科学の甲子園実技競技「甲子園の土」から着想を得ました。

\(側面積がSである正n角錐があり、体積の最大値をV(n)とする。\\
(1)V(6)を求めよ。\\
(2)V(n)及び\displaystyle \lim_{n \to \infty} V(n)
を求めよ。
\)

【数学】劇場版まどマギに登場するホワイトボードに書かれていた数式について

本日、劇場版 魔法少女まどかマギカ[新編]叛逆の物語のBlu-ray Discが届いたので、映画を見ていた時にとてもとても気になっていた数学の問題について紹介したいと思います。再生時間で言うと29分頃だったと思います。再現ホワイトボードもつくろうかと思いましたが、今日作ることは諦めました。文字及び数字は全て私の推測ですのでご了承下さい。結構長いので先に感想言います。

感想:積分の問題は大学レベルで最初は難しいと思ったが、高校までの知識でなんとかなるものもあり良かった。また、文字式、二次関数から三角関数、積分と幅広い範囲をカバーしていることが分かった。(数学ⅠからⅢまで??)なお、鹿目まどかの持っていた数学の教科書は、東京書籍"風"の数学Ⅱであることが分かった。(絵柄は一致していないがレイアウトはよく似ている)

では、問題一覧です。

謎の式の羅列X1(ホワイトボード左上)

\[\frac{****}{*}=\frac{****}{*}=\frac{****}{*^*}\\
**\cdot\frac{****}{*}=**\cdot\frac{****}{*}=**\cdot\frac{****}{*}\\

*\cdot(****)=*\cdot(****)=****
\]

二次方程式の解の公式(ホワイトボード左下)
\[ax^2+bx+c=0\\
a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=0\\
x^2+2\cdot\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0\\
(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0\\
(x-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})=0\\
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\]

謎の式の羅列X2(ホワイトボードやや左上)
\[\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2=\alpha\beta\frac{*}{**}\\
y=\frac{*}{*}**^*
\end{array} \right.\]


ひし形の面積と辺の関係など(ホワイトボードやや左真ん中)
7

\[S=ah=\frac{d_{1}{\cdot}d_{2}}{2}=a^2\cdot\sin\alpha\\
d_{1}^2+d_{2}^2=4a^2
\]実際はsinのsが大文字に見える。

3つのグラフ(ホワイトボードやや左下)


謎の積分の式の羅列X3(ホワイトボードやや右上)
\[\int^*_* *^* dx=(*-*)*^*\\
\int *^**^* dx=*^**^*-*\int *^{*-1}*^*dx \\
\int * * dx=*^** * *+C\\
\int *^***dx =\frac{*^{***}}{***}***-\frac{*^***}{(***)}*+C
\]

積分の問題(ホワイトボードやや右下)
\[a)\int\frac{\arcsin^3 x}{\sqrt{1-x^2}} dx\]
\[b)\int x\ln(x^2+y) dx\]
\[c)\int\frac{x^3+2x^2+10x}{x^2-x+1} dx\]


解答はこちらです。(Cは積分定数とする。)解説については、こちらから。
まず、\[a)\int\frac{\arcsin^3 x}{\sqrt{1-x^2}} dx=\frac{1}{4}\arcsin^4 x+C\]
\[b)\int x\ln(x^2+y) dx =\frac{1}{2}((x^2+y)\ln(x^2+y)-x^2)+C\]
\[c)\int\frac{x^3+2x^2+10x}{x^2-x+1} dx =\frac{1}{2}x^2+3x+6 \ln(x^2-x+1)+2\sqrt{3} \arctan{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}+C\]


直方体の表面積と体積の公式(ホワイトボード右上)
3

\[S=2(ab+ac+bc) もしくは S=2(ab+ca+bc)\]
\[V=abc\]

直角三角形に垂線を下ろした時の辺の関係と三角関数(ホワイトボード右下)
4

\[a^2+b^2=c^2  h^2=c\alpha\cdot c\beta\\
a^2=c\alpha(※)   b^2=c\beta\cdot c\\
\sin\alpha=\frac{a}{c} \cos\alpha=\frac{b}{c}\\
\tan\alpha=\frac{a}{b}
\]ここの式に出てくる全ての$\alpha,\beta$が、$a,b$に見える。
※おそらく、$\times c$が抜けている。さらに、$\alpha$が、角度と辺の違う意味で2回使われているので本当は正しくない。


積分の問題の解説
a)置換積分を使って求めることにする。 \[\begin{eqnarray}
u&=&\arcsin xとおくと,\\
\frac{du}{dx}&=&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}より,\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=du\\
よって,\int\frac{\arcsin^3 x}{\sqrt{1-x^2}} dx&=&\int\arcsin^3 x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx\\
&=&\int u^3du=\frac{1}{4}u4+C\\
&=&\frac{1}{4}\arcsin^4 x+C
\end{eqnarray}\]



b)部分積分を使って求めることにする。
 
\[\begin{eqnarray}
\int x\ln(x^2+y) dx &=&\int \ln(x^2+y)\cdot (\frac{1}{2}x^2)' dx \\
&=&\ln(x^2+y)\cdot \frac{1}{2}x^2-\int (\ln(x^2+y))'\cdot \frac{1}{2}x^2 dx ←部分積分partial integration
\\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y) -\int \frac{2x}{x^2+y}\cdot \frac{1}{2}x^2 dx \\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y) -\int \frac{x^3}{x^2+y} dx \\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y) -\int x-\frac{yx}{x^2+y} dx \\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y) -\int x-\frac{\frac{1}{2}y(x^2+y)\prime}{x^2+y} dx \\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y) -(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y\ln(x^2+y))+C \\
&=&\frac{1}{2}x^2\ln(x^2+y)+\frac{1}{2}y\ln(x^2+y) -\frac{1}{2}x^2+C \\
&=&\frac{1}{2}((x^2+y)\ln(x^2+y)-x^2)+C
\end{eqnarray}\]

c)いろいろな方法を駆使する。
\[\begin{eqnarray}
\int\frac{x^3+2x^2+10x}{x^2-x+1} dx &=&\int(x+3+\frac{12x-3}{x^2-x+1}) dx \\
&=&\int(x+3+\frac{6(2x-1)}{x^2-x+1}+\frac{3}{x^2-x+1}) dx \\
&=&\int(x+3+\frac{6(2x-1)}{x^2-x+1}+\frac{3}{x^2-x+1}) dx \\
&=&\frac{1}{2}x^2+3x+\int\frac{6(x^2-x+1)\prime}{x^2-x+1}+\frac{3}{x^2-x+1}) dx\\
&=&\frac{1}{2}x^2+3x+6 \ln(x^2-x+1)+\int\frac{3}{x^2-x+1}) dx\\

&=&\frac{1}{2}x^2+3x+6 \ln(x^2-x+1)+2\sqrt{3} \arctan{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}+C
\end{eqnarray}\]
cの一番最後の式は、微分すればそうなるとわかるが、逆がちょっと…。
なお、英語版まどかWikiと啓林館『Focus Gold数学Ⅲ+C  解答編 新課程用』を参考に解説を作成しました。
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